หารากที่ 2 ของจำนวนอตรรกยะ

เวลาทำโจทย์ “ถอดรากที่ 2 ของจำนวนอตรรกยะ” (รูปมีทั้งตัวเลขกับรูท) สิ่งที่ช่วยให้ทำได้ไว คือพยายามทำให้ข้างในรูทกลายเป็น “กำลังสองสมบูรณ์” หรือทำให้ทั้งนิพจน์อยู่ในรูป (x−y)² / (x+y)² ก่อน แล้วค่อยถอดรูทออกค่ะ 1) สูตรที่ต้องจำให้ขึ้นใจ - (x−y)² = x² − 2xy + y² - (x+y)² = x² + 2xy + y² พอเห็นรูป “ตัวเลข ± ตัวเลขที่คูณรูท” ให้เดาไว้ก่อนว่าอาจตั้งให้เท่ากับ x² ± 2xy + y² ได้ 2) เทคนิคปรับค่าหน้ารูทให้เป็น 2 ก่อน หลายข้อจะมาในรูป a − b√c แต่ในสูตรต้องมี “2xy” ดังนั้นถ้าตัวหน้ารูทไม่ใช่ 2 ให้แยกตัวประกอบ/ย้ายเข้าไปในรูทก่อน เช่น 6√8 = 2·3√8 = 2√(9·8) = 2√72 ตรงนี้คือทริคสำคัญมาก เพราะทำให้โจทย์เข้ารูป x² − 2√(x²y²) + y² ได้ง่าย 3) ตัวอย่างตามรูป: √(17 − 6√8) เริ่มจากปรับก่อน: 17 − 6√8 = 17 − 2√72 จากนั้นเราจะพยายามให้ 17 − 2√72 = x² + y² − 2xy ดังนั้นต้องมีเงื่อนไข - x² + y² = 17 - xy = √72 แต่ √72 = √(36·2) = 6√2 แปลว่า xy ต้องเป็น 6√2 ซึ่งมักลองจาก x,y ที่เป็นจำนวนแบบ (จำนวนเต็ม ± จำนวนที่มี √2) เช่น 3 กับ 2√2 เช็กดู: (3)(2√2) = 6√2 ตรง! และ 3² + (2√2)² = 9 + 8 = 17 ตรง! ดังนั้น 17 − 2√72 = (3 − 2√2)² สรุป √(17 − 6√8) = √((3 − 2√2)²) = |3 − 2√2| โดยปกติข้อสอบมักตอบเป็น 3 − 2√2 (เพราะค่านี้เป็นบวกอยู่แล้ว) 4) แนวเช็กคำตอบเร็วๆ (กันพลาด) ถ้าได้ผลลัพธ์เป็น 3 − 2√2 ให้ยกกำลังสองกลับ: (3 − 2√2)² = 9 − 12√2 + 8 = 17 − 12√2 แล้วดูว่า 6√8 = 6·2√2 = 12√2 พอดี แปลว่าถูกค่ะ 5) แบบฝึกหัดลองเอง (แนว ม.2/ม.3) ลองทำแบบเดียวกัน: - √(13 − 4√3) - √(9 + 4√5) ทริคคือหา x,y ให้ x² + y² เท่ากับตัวเลขหน้า และ 2xy เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์หน้ารูท (หลังปรับให้เป็น 2xy แล้ว) ถ้าฝึกบ่อยๆ จะเริ่ม “มองออก” ว่าคู่ x,y ควรเป็นอะไร ทำข้อสอบเรื่องรากที่สองได้เร็วขึ้นมากค่ะ