แฟคทอเรียล : แก้สมการ หาค่า n

เวลาเจอโจทย์ “แฟกทอเรียล” หลายคนจะติดตรงที่ตัวเลขใหญ่ คูณยาว และไม่รู้จะเริ่มตัดตรงไหน เราใช้หลักง่ายๆ คือ “ขยายเท่าที่จำเป็น แล้วตัดทอนก่อนคูณ” จะช่วยให้โจทย์สั้นลงมาก 1) แฟกทอเรียลคืออะไร? แฟกทอเรียลเขียนเป็น n! หมายถึงการคูณจำนวนเต็มบวกเรียงลงมา: n! = n(n-1)(n-2)…1 เช่น 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 2) สูตรที่ใช้บ่อยในการตัดทอน - (n+2)!/(n-1)! : ขยายเฉพาะด้านบนให้ถึง (n-1)! แล้วตัดทิ้ง (n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)! ดังนั้น (n+2)!/(n-1)! = (n+2)(n+1)n ข้อดีคือไม่ต้องเขียนยาวถึง 1 เลย - (n-1)(n-2)(n-3) มาจากไหน? มักมาจากการตัดทอน (n-1)!/(n-4)! = (n-1)(n-2)(n-3) จำง่ายๆ ว่า “ต่างกันกี่ขั้น ก็เหลือพจน์เท่านั้นขั้น” 3) n(n-1)/2 คืออะไร? รูป n(n-1)/2 เจอบ่อยมากในโจทย์จัดหมู่/แฟกทอเรียล เพราะมาจากการเลือก 2 ตัวจาก n ตัว (เชื่อมกับการตัดทอนแฟกทอเรียล): C(n,2) = n!/(2!(n-2)!) = n(n-1)/2 ดังนั้นถ้าเห็น n!/(2!(n-2)!) ให้รีบย่อเป็น n(n-1)/2 จะเร็วขึ้น 4) ตัวอย่างแนวเดียวกับในรูป: n!/(3!(n-2)!) = 70 ทริคคืออย่าเพิ่งแทน n! เป็นยาวๆ ให้มองส่วนที่ตัดได้ก่อน (n!)/(n-2)! = n(n-1) ดังนั้นโจทย์จะกลายเป็น n(n-1)/3! = 70 เพราะ 3! = 6 จึงได้ n(n-1) = 420 จากนั้นแก้สมการกำลังสอง: n^2 - n - 420 = 0 ลองแยกตัวประกอบ: 420 = 21×20 → ได้ (n-21)(n+20)=0 คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกคือ n = 21 5) เช็กลิสต์เวลาทำโจทย์แฟกทอเรียล (ใช้ได้กับโจทย์ ม.4) - มอง “ตัวที่ซ้ำกัน” เช่น (n-2)! อยู่ทั้งบน/ล่าง ให้ตัดก่อน - ขยายเฉพาะช่วงที่จำเป็น เช่น n! = n(n-1)(n-2)! - ค่อยคูณหลังตัดทอนเสร็จ เพื่อลดตัวเลขใหญ่ - ได้สมการแบบ n(n-1)=… แล้วค่อยแก้หาค่า n ทำตามนี้จะช่วยให้โจทย์แฟกทอเรียลดูไม่ยาก และคำนวณสั้นลงแบบเห็นขั้นตอนชัดเจนค่ะ