จงหาโดเมน & เรนจ์ | คณิต ม.4

หลายคนเจอคำว่า “ลำดับคอนเวอร์เจนต์” กับ “ลำดับไดเวอร์เจนซ์” แล้วสับสนว่าต้องเริ่มดูจากตรงไหน เราลองสรุปแนวคิดแบบที่เราใช้ทำโจทย์เองให้เป็นขั้นตอนสั้น ๆ เผื่อช่วยเช็กคำตอบได้เร็วขึ้น 1) จำความหมายให้ชัดก่อน - ลำดับคอนเวอร์เจนต์ (convergent): เมื่อ n โตขึ้นเรื่อย ๆ แล้วพจน์ a_n เข้าใกล้ค่าคงที่ L (มีลิมิต) เขียนว่า lim(n→∞) a_n = L - ลำดับไดเวอร์เจนซ์ (divergent): ถ้าลิมิต “ไม่มี” หรือวิ่งไป +∞ / −∞ หรือแกว่งไปมาไม่เข้าใกล้ค่าเดียว 2) เช็กไวที่สุด: ดูลิมิตของ a_n ถ้าโจทย์ให้พจน์ทั่วไปมา เช่น a_n = (2n+1)/(n+3) ให้หารด้วย n ทั้งเศษและส่วน จะได้ lim = 2 ดังนั้นคอนเวอร์เจนต์ (ลู่เข้า 2) รูปแบบที่เจอบ่อยมาก - a_n = c (ค่าคงที่) → คอนเวอร์เจนต์ที่ c - a_n = 1/n, 5/n, (−3)/n → ลิมิตเป็น 0 → คอนเวอร์เจนต์ - a_n = n, n^2, √n → ไปอนันต์ → ไดเวอร์เจนซ์ - a_n = (−1)^n → สลับ 1 กับ −1 ไม่เข้าใกล้ค่าเดียว → ไดเวอร์เจนซ์ - a_n = (−1)^n / n → ค่าแกว่งแต่ขนาดเล็กลงเรื่อย ๆ สุดท้ายเข้า 0 → คอนเวอร์เจนต์ 3) ถ้าเป็นเศษส่วนพหุนาม ให้ดู “ดีกรี” - ดีกรีเศษ = ดีกรีส่วน → ลิมิต = อัตราส่วนสัมประสิทธิ์หน้าสุด - ดีกรีเศษ < ดีกรีส่วน → ลิมิต = 0 - ดีกรีเศษ > ดีกรีส่วน → ไดเวอร์เจนซ์ (ไป ±∞) 4) ทริกสังเกตเวลาเจอราก/กำลัง - √(n^2+...) มักดึง n ออกมาได้ เช่น √(n^2+1)=n√(1+1/n^2) → โตประมาณ n → ไดเวอร์เจนซ์ - (1+1/n)^n จะลู่เข้า e (ข้อนี้เจอบ่อยเป็นความรู้เสริม) 5) ตัวอย่างสั้น ๆ ให้ลองเช็กเอง - a_n = (3n−2)/(6n+5) → ลิมิต = 3/6 = 1/2 (คอนเวอร์เจนต์) - a_n = (n^2+1)/(n−1) → ดีกรีเศษมากกว่า → ไปอนันต์ (ไดเวอร์เจนซ์) - a_n = (−1)^n + 1/n → ส่วนแรกแกว่ง แต่ 1/n → 0 ดังนั้นยังแกว่งอยู่ (ค่าจะใกล้ 1 กับ −1) → ไดเวอร์เจนซ์ เวลาทำข้อสอบ เราชอบไล่ตามนี้เลย: “เขียน a_n ให้ชัด → หาลิมิต/ดูรูปแบบ → สรุปคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนซ์ + ถ้าคอนเวอร์เจนต์ตอบค่าลิมิตด้วย” ช่วยลดพลาดได้เยอะ โดยเฉพาะข้อที่มี (−1)^n ปนมา